直方图均衡化计算题

讲解直方图均衡化之前，先解释一下图像的统计直方图与累加概率。

1. 统计直方图，就是统计图像中每一个像素值的个数。比如对于8位的图像，每一个像素点的像素值取值范围是0~255，那么其统计直方图就是统计0~255中所有像素值在图像中的个数，比如0像素值有几个点、1像素值有几个点、2像素值有几个点......像素255有几个点，如下图所示：

2. 像素的概率，也就是该像素值的统计直方图值（像素数）除以图像的总像素数，假设像素x的统计直方图值为hist(x)，图像的总像素数为size，那么该像素的概率为：

像素值x的累加概率，就是所有小于等于x的像素值的像素数，除以图像的总像素数，可按下式计算：

3. 接下来讲解直方图均衡化的原理。通常认为，图像的统计直方图分布越均匀，图像的质量越好，直方图均衡化可以提升图像的对比度和质量。比如有的图像整体较暗，那么说明其直方图中低像素值分布较多，高像素值分布较少，这时可以使用直方图均衡化来平衡其直方图分布，即减少低像素值，增加高像素值。从直观上看，均衡化的效果就是图像的部分区域相对原来变亮了，所以提升了图像的对比度。

直方图均衡化就是一个所有像素值重映射的过程。比如像素值x的直方图均衡化之后的值可按下式计算，其中n为图像的每一个像素点的位宽，对于灰度图通常n=8，P(x)为像素值x的累加概率。

使用C++实现上述算法：

运行上述代码，对Lena图像进行直方图均衡化，结果如下，可以看到直方图均衡化之后，图像对比度增强了，统计直方图分布也更加均匀。

原图

   直方图均衡化之后图像

原图的统计直方图

直方图均衡化之后的统计直方图

4. 观察上方H(x)的计算公式，P(x)的取值范围是0~1，H(x)与P(x)具有线性关系。为了进一步提升图像对比度，可以对P(x)作一个非线性的S型变换T(P(x))，并保证变换之后T(P(x))的取值范围还在0~1之间。本文分别构造了T₁和T₂这两个非线性函数用于非线性变换，同时我们可以把原本H(x)与P(x)的线性关系看成函数T₀，于是有以下三种变换：

画出以上三种变换函数在0~1区间的曲线如下图所示，可以看到T₁和T₂的曲线都是S型。

从而H(x)与P(x)有三种映射关系：

增加非线性变换的代码实现与上述代码大同小异：

分别选择T₀、T₁和T₂变换，运行以上代码，得到的结果如下，可以看到使用T₁和T₂变换得到结果的对比度相对于T₀有所提高。

T0

T1

T2

5. 上述直方图均衡算法还存在一个问题，就是当图像的0像素值占很大比例时，从起始的0像素值的累加概率就很大了，导致后面的1~255像素值的累加概率均变得很大，从而造成直方图均衡化之后的像素值都偏大。比如下图，可以看到直方图均衡化之后图像变白了，严重失真。

原图

直方图均衡化之后的图像

为解决上述问题，我们可以把0像素值排除在外，也即0像素值不做处理，从像素值1开始计算累加概率，同时计算累加概率时使用到的图像总像素数应减去0像素值的像素数。代码如下：

运行上述代码，得到结果，可以看到直方图均衡化之后，像素值不会再有整体偏高的问题。